11.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a,公差為b的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b,公比為a的等比數(shù)列,且a1<b1<a2<b2<a3,其中a,b,m,n∈N*
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若數(shù)列{1+am}與數(shù)列{bn}有公共項(xiàng),將所有公共項(xiàng)按原來順序排列后構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{cn},求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)dm=$\frac{a_m}{2m}$,m∈N*,求證:$\frac{1}{{1+{d_1}}}$+$\frac{2}{{(1+{d_1})(1+{d_2})}}$+…+$\frac{n}{{(1+{d_1})(1+{d_2})…(1+{d_n})}}$<2.

分析 (Ⅰ)由題設(shè)am=a+(m-1)b,知bn=b•an-1.由a<b<a+b<ab<a+2b,知ab<a+2b<3b.由此能求出a.
(Ⅱ)設(shè)1+a+(m-1)b=b•an-1.由a=2,知3+(m-1)b=b•2n-1,得到b=$\frac{3}{{2}^{n-1}-(m-1)}$..由此能求出cn
(Ⅲ)先用放縮法得到dm=$\frac{a_m}{2m}$≥1,再用基本不等式得到1+di≥2$\sqrt{dldlfpj_{i}}$>0,i=1,2,…,k,用累乘法并化簡可得不等式的左邊,再放縮,得到左邊≤$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,設(shè)Sn=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,利用錯(cuò)位相減法求和,最后放縮即可證明.

解答 解:(I)∵am=a+(m-1)b,bn=b•an-1,
由已知可得,a<b<a+b<ab<a+2b
∴b<ab,a>1
∴ab<a+2b<3b
又∵b>0
∴a<3
∵a為正整數(shù)
∴a=2
(II)設(shè)1+am=bn,即1+a+(m-1)b=b•an-1
∴3+(m-1)b=b•2n-1,b=$\frac{3}{{2}^{n-1}-(m-1)}$.
∵b>a=2,且b∈N*,
∴2n-1-(m-1)=1.
∴2n-1=m,且b=3
∴cn=bn=3•2n-1
(III)證明:由(I)(II)可得am=a+b(m-1),且a=2,b>2,
可知a1=2,
當(dāng)m≥2時(shí),am≥2m,
∴dm=$\frac{a_m}{2m}$≥1,
∴對(duì)任意正整數(shù)k,均有d1•d2…dk≥1
由基本不等式可得1+di≥2$\sqrt{ltvzpft_{i}}$>0,i=1,2,…,k,
累乘可得(1+d1)(1+d2)…(1+dk)≥2k,
則:$\frac{1}{{1+{d_1}}}$+$\frac{2}{{(1+{d_1})(1+{d_2})}}$+…+$\frac{n}{{(1+{d_1})(1+{d_2})…(1+{d_n})}}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,
令Sn=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,
則$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
∴$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n}})}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
∴Sn=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$<2,
∴$\frac{1}{{1+{d_1}}}$+$\frac{2}{{(1+{d_1})(1+{d_2})}}$+…+$\frac{n}{{(1+{d_1})(1+{d_2})…(1+{d_n})}}$<2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,合理地運(yùn)用放縮法進(jìn)行證明.注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,屬于難題.

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(1)求a2,a3,a4
(2)根據(jù)(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(3)求證:對(duì)一切正整數(shù)n,$\frac{1}{{{{({a_1}-2)}^2}}}+\frac{1}{{{{({a_2}-2)}^2}}}+\frac{1}{{{{({a_3}-2)}^2}}}+…+\frac{1}{{{{({a_n}-2)}^2}}}<\frac{7}{4}$.

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