Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$（p＞0）
（1）寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），α=$\frac{π}{2}$時(shí)，直線方程為：x=0，可得極坐標(biāo)方程.$α≠\frac{π}{2}$時(shí)，消去參數(shù)t可得：y=xtanα．（0＜α＜π）．由直線l是經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為α的直線．可得直線l的極坐標(biāo)方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$（p＞0），可得：ρ-ρcosθ=p，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（II）設(shè)A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{θ=α}\\{ρ=\frac{p}{1-cosθ}}\end{array}\right.$，可得ρ₁=$\frac{p}{1-cosθ}$=|OA|．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{θ=α+π}\\{ρ=\frac{p}{1-cosθ}}\end{array}\right.$，可得：ρ₂=$\frac{p}{1-cos（α+π）}$=$\frac{p}{1+cosα}$=|OB|．即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
α=$\frac{π}{2}$時(shí)，直線方程為：x=0，其極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{2}$或θ=$\frac{3π}{2}$．
$α≠\frac{π}{2}$時(shí)，消去參數(shù)t可得：y=xtanα．（0＜α＜π）．
∴直線l是經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為α的直線．
∴直線l的極坐標(biāo)方程為：θ=α或θ=α+π．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$（p＞0），可得：ρ-ρcosθ=p，∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$-x=p，化為：x²+y²=（x+p）²．
整理為：y²=2p（x+$\frac{p}{2}$）．
（II）設(shè)A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{θ=α}\\{ρ=\frac{p}{1-cosθ}}\end{array}\right.$，可得ρ₁=$\frac{p}{1-cosθ}$=|OA|．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{θ=α+π}\\{ρ=\frac{p}{1-cosθ}}\end{array}\right.$，可得：ρ₂=$\frac{p}{1-cos（α+π）}$=$\frac{p}{1+cosα}$=|OB|．
∴$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{1-cosθ}{p}+\frac{1+cosθ}{p}$=$\frac{2}{p}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相交弦長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．