Question

16．已知集合{（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≤0}\\{x+y≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$}表示的平面區(qū)域為Ω，若在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點P（x，y），則點P的坐標(biāo)滿足不等式x²+y²≤3的概率為$\frac{9}{64}$π．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出對應(yīng)的面積，再求出區(qū)域內(nèi)和圓重合部分的面積，代入幾何概型計算公式，即可得到答案．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖
則對應(yīng)的區(qū)域為△AOB，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，即B（4，-4），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
直線2x+y-4=0與x軸的交點坐標(biāo)為（2，0），
則△OAB的面積S=$\frac{1}{2}×2×（\frac{4}{3}+4）$=$\frac{16}{3}$，
點P的坐標(biāo)滿足不等式x²+y²≤2區(qū)域面積S=$\frac{1}{4}•π•3$=$\frac{3π}{4}$，
則由幾何概型的概率公式得點P的坐標(biāo)滿足不等式x²+y²≤3的概率為$\frac{\frac{3}{4}π}{\frac{16}{3}}$=$\frac{9}{64}$π，
故答案為：$\frac{9}{64}$π．

點評 本題考查的知識點是幾何概型，二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解．