Question

5．函數$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-（{b-1}）x$
（Ⅰ）若b=2，求函數f（x）在點$P（{1，-\frac{1}{2}}）$處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）存在單調遞減區(qū)間，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）b=2，求出導函數$f'（x）=\frac{1}{x}+x-1=\frac{{{x^2}-x+1}}{x}$，利用$P（{1，-\frac{1}{2}}）$在f（x）的圖象上，又f'（1）=1，然后求解切線方程．
（Ⅱ）求出f（x）的定義域（0，+∞），導函數$f'（x）=\frac{1}{x}+x-（b-1）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$，由題知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
方法一：即為x²-bx+x+1＜0在（0，+∞）上有解，即$b＞x+\frac{1}{x}+1$在（0，+∞）上有解，利用基本不等式轉化求解即可．
方法二：$u（x）={x^2}-（b-1）x+1={[{x-\frac{b-1}{2}}]^2}+1-\frac{{{{（{b-1}）}^2}}}{4}$，利用二次函數的性質，轉化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若b=2，$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-x$，$f'（x）=\frac{1}{x}+x-1=\frac{{{x^2}-x+1}}{x}$，…（2分）
$P（{1，-\frac{1}{2}}）$在f（x）的圖象上，又f'（1）=1，…（3分）
故函數f（x）在點$P（{1，-\frac{1}{2}}）$處的切線為$y+\frac{1}{2}=x-1$，即$x-y-\frac{3}{2}=0$．…（5分）
（Ⅱ）f（x）的定義域（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}+x-（b-1）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$．…（6分）
由題知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．…（7分）
方法一：即為x²-bx+x+1＜0在（0，+∞）上有解，即$b＞x+\frac{1}{x}+1$在（0，+∞）上有解．…（8分）
設$h（x）=x+\frac{1}{x}+1（{x＞0}）$，則h（x）≥2+1=3（當且僅當x=1時等號成立），∴b＞3．
…（10分）
方法二：$u（x）={x^2}-（b-1）x+1={[{x-\frac{b-1}{2}}]^2}+1-\frac{{{{（{b-1}）}^2}}}{4}$，對稱軸$x=\frac{b-1}{2}$…（7分）
當$\frac{b-1}{2}≤0$即b≤1時，u（x）在（0，+∞）上遞增，則恒有u（x）＞u（0）=1＞0，不成立；…（8分）
當$\frac{b-1}{2}＞0$即b＞1時，△=（b-1）²-4＞0，解得b＞3；…（9分）
綜上：b的取值范圍為b＞3．…（10分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，切線方程的求法，單調區(qū)間的應用，涉及基本不等式以及二次函數的性質，考查轉化思想以及計算能力．