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2.如圖,已知等邊△ABC的邊長為2,圓A的半徑為1,PQ為圓A的任意一條直徑.
(1)判斷BPCQAPCB的值是否會隨點P的變化而變化,請說明理由.
(2)求BPCQ的最大值.

分析 (1)將BPCQAPCB,利用平面向量基本定理化簡成:-AP2+ABAC,再結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可得出不會隨點P的變化而變化,值為1;
(2)先結(jié)合圖形利用平面向量基本定理將向量BPCQ分別用向量BA+AP,CA+AQ表示,再利用題中條件化成1+2cosθ,最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求BPCQ的最大值.

解答 解:(1)由于BPCQAPCB=(AP-AB)•(AQ-AC)-AP•(AB-AC),AP=-AQ
BPCQAPCB=(AP-AB)•(-AP-AC)-AP•(AB-AC)=-AP2+ABAC
=-1+2×2×12=1.
所以BPCQAPCB=1,
BPCQAPCB不會隨點P的變化而變化,值為1.
(2)BPCQ=(BA+AP)•(CA+AQ)=BACA+BAAQ+APCA+APAQ
=2×2×12+AQ•(BA-CA)-AQ2=2-1+AQBC
=1+1×2cosθ(其中θ為AQ,BC的夾角)
所以 θ=0時,BPCQ取最大值3.

點評 本題主要考查向量的模、最大值問題中的應(yīng)用、平面向量數(shù)量積的運算等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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