Question

15．已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，D、P是△ABC內(nèi)部兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{8}\overrightarrow{BC}$，則△ADP的面積為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，以BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．由于等邊三角形△的邊長為4，可得B，C的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算可得$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$，利用△APD的面積公式即可得出．

解答 解：以A為原點(diǎn)，以BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
∵等邊三角形△的邊長為4，
∴B（-2，-2$\sqrt{3}$），C（2，-2$\sqrt{3}$），
由足$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{4}$[（-2，-2$\sqrt{3}$）+（2，-2$\sqrt{3}$）]=（0，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{8}\overrightarrow{BC}$=（0，-$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{8}$（4，0）=（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），
∴△ADP的面積為S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{DP}$|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、三角形的面積計算公式，屬于中檔題．