Question

10．已知函數(shù)f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且f（x）-m（x-1）＞0對任意的x＞1恒成立，則m的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為對任意x∈（1，+∞），m＜$\frac{x•lnx+x}{x-1}$恒成立，求正整數(shù)m的值．設(shè)函數(shù)h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，求其導函數(shù)，得到其導函數(shù)的零點x₀位于（3，4）內(nèi)，且知此零點為函數(shù)h（x）的最小值點，經(jīng)求解知h（x₀）=x₀，從而得到m＜x₀，則正整數(shù)m的最大值可求．．

解答 解：因為f（x）=x+xlnx，所以f（x）-m（x-1）＞0對任意x＞1恒成立，
即m（x-1）＜x+xlnx，
因為x＞1，
也就是m＜$\frac{x•lnx+x}{x-1}$對任意x＞1恒成立．
令h（x）=$\frac{x•lnx+x}{x-1}$，
則h′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令φ（x）=x-lnx-2（x＞1），
則φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
所以函數(shù)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因為φ（3）=1-ln3＜0，φ（4）=2-2ln2＞0，
所以方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當1＜x＜x₀時，φ（x）＜0，
即h′（x）＜0，當x＞x₀時，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，
在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[h（x）]min=h（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1{+x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4）．
所以m＜[g（x）]_min=x₀，
因為x₀∈（3，4），
故整數(shù)m的最大值是3，
故選：B．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是，如何求解函數(shù)h（x）的最小值，學生思考起來有一定難度．