Question

16．已知四棱錐S-ABCD的底面為平行四邊形，且SD⊥平面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分別為SB，SC的中點，過MN作平面MNPQ分別與線段CD，AB相交于P，Q兩點（不與A，B重合）．
（1）證明：PQ∥BC；
（2）當(dāng)平面MNPQ將四棱錐S-ABCD分成兩個體積相等的多面體時，求QB的長．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出MN∥BC，從而MN∥平面ABCD，由MN∥平面ABCD，得MN∥PQ，由此能證明PQ∥BC．
（2）設(shè)QB=x，連結(jié)MP，MC，作BH⊥CD于H，由V_S-ABCD=2（V_M-BCPQ+V_M-CNP），能求出QB．

解答 證明：（1）∵M，N分別為SB，SC的中點，∴MN∥BC，
又MN?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD，
∵MN∥平面ABCD，MN?平面MNPQ，
平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，
∴MN∥PQ，
∴PQ∥BC．
解：（2）設(shè)QB=x，連結(jié)MP，MC，作BH⊥CD于H，
∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BH，
∵SD∩CD=D，∴BH⊥平面SDC，
在直角三角形BCH中，∠DCB=60°，∴BH=$\sqrt{3}$，
M為SB中點，M到平面SDC的距離為$\frac{BH}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
V_M-NCP=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×x×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}x}{12}$，
∵SD⊥平面ABCD，M為SB中點，M到平面ABCD距離為$\frac{SD}{2}$=1，
${V}_{M-BCPQ}=\frac{1}{3}•x•\sqrt{3}•1$=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$，
依題意V_S-ABCD=2（V_M-BCPQ+V_M-CNP）
∴$\frac{1}{3}×4×\sqrt{3}×2$=2（$\frac{\sqrt{3}x}{2}+\frac{\sqrt{3}x}{3}$），
解得x=$\frac{16}{5}$，
故QB=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查線線平行的證明，考查三棱錐體積的求法及應(yīng)用，考查棱錐性質(zhì)、空間中線線、線面、面面間關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．