分析 把函數(shù)f(x)=e|lnx|-|x-1|-($\frac{1}{2}$)m有且僅有一個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程e|lnx|-|x-1|=($\frac{1}{2}$)m有且僅有一個(gè)根,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性,作出其圖象的大致形狀,數(shù)形結(jié)合可得($\frac{1}{2}$)m>1,得m<0.
解答 解:函數(shù)f(x)=e|lnx|-|x-1|-($\frac{1}{2}$)m有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即方程e|lnx|-|x-1|=($\frac{1}{2}$)m有且僅有一個(gè)根,
令g(x)=e|lnx|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-elnx+x-1,0<x<1}\\{elnx-x+1,x≥1}\end{array}\right.$,
當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)=-elnx+x-1,得g′(x)=$-\frac{e}{x}+1=\frac{x-e}{x}$<0,g(x)在(0,1)上為減函數(shù);
當(dāng)x>1時(shí),由g(x)=elnx-x+1,得g′(x)=$\frac{e}{x}-1=\frac{e-x}{x}$,當(dāng)x∈(1,e)時(shí),g′(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g′(x)<0,
∴g(x)在(1,e)上為增函數(shù),在(e,+∞)上為減函數(shù),且g(1)=0,g(e)=1,當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→-∞.
作出函數(shù)g(x)的圖象的大致形狀如圖:
要使方程e|lnx|-|x-1|=($\frac{1}{2}$)m有且僅有一個(gè)根,
則($\frac{1}{2}$)m>1,得m<0.
∴m的取值范圍為(-∞,0).
故答案為:(-∞,0).
點(diǎn)評 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.
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A. | a≥1 | B. | a≥1或a≤$\frac{2}{π}$ | C. | a>1或a≤0 | D. | a$<\frac{2}{π}$ |
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A. | (0,2) | B. | (-1,2] | C. | (0,2] | D. | (-1,3) |
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A. | 25 | B. | 4 | C. | 2 | D. | 5 |
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A. | 1-i | B. | 1+i | C. | i | D. | 2-i |
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