Question

17．函數(shù)$f（x）=2sin（2x+ϕ）（|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)$g（x）=（2+\sqrt{3}）cos2x$．若關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=-2在[0，π）內(nèi)有兩個不同的解α，β，則cos（α-β）的值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，利用三角函數(shù)的圖象，可得sin（2α+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（2β+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，從而得到2α+θ=π+θ，2β+θ=2π-θ，進(jìn)而得到cos（α-β）=cos（θ-$\frac{π}{2}$）=sinθ的值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2sin（2x+ϕ）（|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度后，得到y(tǒng)=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+Φ）的圖象；
∵對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，∴$\frac{π}{3}$+Φ=kπ，k∈Z，即Φ=kπ-$\frac{π}{3}$，∴Φ=-$\frac{π}{3}$，即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∵函數(shù)$g（x）=（2+\sqrt{3}）cos2x$，關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=-2在[0，π）內(nèi)有兩個不同的解α，β，
即2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+（2+$\sqrt{3}$）cos2x=-2在[0，π）內(nèi)有兩個不同的解α，β，
即 $\frac{1}{2}$sin2x+cos2x=-1 在[0，π）內(nèi)有兩個不同的解α，β，
即$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（2x+θ）=-1（其中，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，θ為銳角）在[0，π）內(nèi)有兩個不同的解α，β，
即方程sin（2x+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 在[0，π）內(nèi)有兩個不同的解α，β．
∵x∈[0，π），∴2x+θ∈[θ，2π+θ），∴sin（2α+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（2β+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ=-sin（2α+θ）=-sin（2β+θ），∴2α+θ=π+θ，2β+θ=2π-θ，
∴2α-2β=-π+2θ，α-β=θ-$\frac{π}{2}$，∴cos（α-β）=cos（θ-$\frac{π}{2}$）=sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．