Question

14．如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，△PBC是等邊三角形，點A在平面PBC的正投影E恰好是PB中點．
（Ⅰ）求證：PD∥平面ACE
（Ⅱ）若AB⊥PA，BC=2，求點P到平面ABCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD交AC于點F，推導(dǎo)出PD∥EF，由此能證明PD∥平面ACE．
（Ⅱ）推導(dǎo)出AE⊥平面PBC，AB⊥PA，設(shè)點P到平面ABCD的距離為d，由V_P-ABC=V_A-PBC，能求出點P到平面ABCD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于點F．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴F是BD的中點，
又E是PB的中點，∴PD∥EF，
又PD?平面ACE，EF?平面ACE，
∴PD∥平面ACE．
解：（Ⅱ）∵點A在平面PBC的正投影恰好是PB的中點，
∴AE⊥平面PBC，E是PB的中點，
又CE，PB?平面PBC，∴AE⊥CE，AE⊥PB．
在△PAB中，E是PB的中點，AB⊥PA，
∴△PAB是等腰直角三角形，AE=1，AB=$\sqrt{2}$，
在等邊△PBC中，CE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2，
在等腰△ABC中，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
設(shè)點P到平面ABCD的距離為d，
由V_P-ABC=V_A-PBC，得$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•d=\frac{1}{3}{S}_{△PBC}•AE$，
∴點P到平面ABCD的距離d=$\frac{AE•{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．