Question

14．給出以下命題：
①若f′（x₀）=0，則f（x₀）為f（x）的極值．
②若f（x）的極大值為f（x₁），f（x）的極小值為f（x₂），則f（x₁）＞f（x₂）；
③△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，則△ABC是鈍角三角形；
④若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$是減函數(shù)，則a∈$（{-∞，2\sqrt{2}}]$
⑤設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=$\frac{2S}{a+b+c}$；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V，則R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$
其中正確命題的序號(hào)為③④⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)極值的性質(zhì)，可判斷①②；根據(jù)正弦定理和余弦定理，可判斷③；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍，可判斷④；根據(jù)等積法，可判斷⑤．

解答 解：給出以下命題：
①令f（x）=x³，則f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的極值，故錯(cuò)誤．
②若f（x）的極大值為f（x₁），f（x）的極小值為f（x₂），但f（x₁）與f（x₂）的大小無(wú)法判斷，故錯(cuò)誤；
③△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，即a²+b²＜c²，此時(shí)cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，則C為鈍角，則△ABC是鈍角三角形，故正確；
④函數(shù)f（x）=cos2x+asin x=-2sin²x+asin x+1，
令t=sin x，x∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，則t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
此時(shí)t=sin x，x∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$為增函數(shù)，
y=f（x）=-2t²+at+1是減函數(shù)，
故$\frac{a}{4}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則a∈$（{-∞，2\sqrt{2}}]$，故正確；
⑤設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=$\frac{2S}{a+b+c}$；
類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V，則R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$，故正確；
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的極值，解三角形，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，類比推理等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．