Question

函數(shù)y=lnx+x²的圖象與函數(shù)y=3x-b的圖象有3個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，由條件即等價為方程lnx+x²-3x+b=0有三個不同的實數(shù)解，
然后構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx+x²-3x+b（x＞0），運用導(dǎo)數(shù)求出極值點，根據(jù)和x軸有三個交點，再令極大值大于0，極小值小于0，解關(guān)于b的不等式組即可．

解答： 解：函數(shù)y=lnx+x²的圖象與函數(shù)y=3x-b的圖象有3個不同的交點，
等價為方程lnx+x²-3x+b=0有三個不同的實數(shù)解，
令f（x）=lnx+x²-3x+b（x＞0），
則f′（x）=

1

x

+2x-3
即f′（x）=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，
解得x=

1

2

或 x=1，
由f′（x）＜0，解得

1

2

＜x＜1，
由f′（x）＞0，解得x＞1或x＜

1

2

，但x＞0，
∴f（x）在（0，

1

2

），（1，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）在（

1

2

，1）單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=

1

2

取極大值，x=1取極小值，
∵f（x）的圖象與x軸有3個交點，
∴

f( 1 2 )＞0 f(1)＜0

即

ln 1 2 + 1 4 - 3 2 +b＞0 1-3+b＜0

，
∴

5

4

+ln2＜b＜2．
故答案為：（

5

4

+ln2，2）．

點評：本題主要考查圖象交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，求極值，由圖象與x軸的交點個數(shù)，確定極值的符號，解含參的不等式組．這是解決圖象交點個數(shù)的常用方法，應(yīng)掌握．