Question

11．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{2}$，A為C的上頂點，P為C第一象限上的一點，連接AP交x軸于點Q，過點Q作C第四象限的一條切線l交y軸于點B，當P為AQ的中點時，|OB|=$\sqrt{6}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）連接PO，求四邊形OPQB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設直線l的方程為y=kx-$\sqrt{6}$，則Q（$\frac{\sqrt{6}}{k}$，0），又A（0，b），P為AQ的中點，可得P（$\frac{\sqrt{6}}{2k}$，$\frac{2}$），把P（$\frac{\sqrt{6}}{2k}$，$\frac{2}$）代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得a²k²=2．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{6}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，即（b²+2）x²-2$\sqrt{6}$ka²x+6a²-a²b²=0，△=24k²a⁴-4（b²+2）（6a²-a²b²）=0，解得b．a(chǎn)即可．
（2）設直線AP的方程為：y=kx+2（k＜0），則Q$（-\frac{2}{k}，0）$．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得x_P=$\frac{-12k}{2+3{k}^{2}}$，y_P=kx_P+2=$\frac{4-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
設切線QB的方程為：y=m（x+$\frac{2}{k}$）（m＞0），代入橢圓方程可得：（2k²+3m²k²）x²+12km²x+12m²-12k²=0，則△=144k²m⁴-4（2k²+3m²k²）（12m²-12k²）=0，解得m=$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{2-3{k}^{2}}}$，又B$（0，\frac{2m}{k}）$．由四邊OPQB面積S=S_△OQB+S_△OQP=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{-k}$（$\frac{4-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$+$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2-3{k}^{2}}}$）=$\frac{6{k}^{2}-4}{3{k}^{3}+2k}-\frac{2\sqrt{2}}{k\sqrt{2-3{k}^{2}}}$．

解答 解：（1）設直線l的方程為y=kx-$\sqrt{6}$，則Q（$\frac{\sqrt{6}}{k}$，0），
又A（0，b），P為AQ的中點，∴P（$\frac{\sqrt{6}}{2k}$，$\frac{2}$），
把P（$\frac{\sqrt{6}}{2k}$，$\frac{2}$）代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得$\frac{6}{4{k}^{2}{a}^{2}}+\frac{1}{4}=1$，
整理得a²k²=2．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{6}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，消元得（b²+a²k²）x²-2$\sqrt{6}$ka²x+6a²-a²b²=0，
即（b²+2）x²-2$\sqrt{6}$ka²x+6a²-a²b²=0，
∵直線l與橢圓C相切，
∴△=24k²a⁴-4（b²+2）（6a²-a²b²）=0，即48a²-4a²（b²+2）（6-b²）=0，
解得b²=4．
又2c=2$\sqrt{2}$，即c=$\sqrt{2}$，∴a²=b²+c²=6，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設直線AP的方程為：y=kx+2（k＜0），則Q$（-\frac{2}{k}，0）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：（2+3k²）x²+12kx=0，
解得x_P=$\frac{-12k}{2+3{k}^{2}}$，y_P=kx_P+2=$\frac{4-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
設切線QB的方程為：y=m（x+$\frac{2}{k}$）（m＞0），
代入橢圓方程可得：（2k²+3m²k²）x²+12km²x+12m²-12k²=0，
則△=144k²m⁴-4（2k²+3m²k²）（12m²-12k²）=0，
化為：2m²=2k²+3m²k²．解得m=$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{2-3{k}^{2}}}$，又B$（0，\frac{2m}{k}）$．
∴四邊OPQB面積S=S_△OQB+S_△OQP=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{-k}$（$\frac{4-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$+$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2-3{k}^{2}}}$）
=$\frac{6{k}^{2}-4}{3{k}^{3}+2k}-\frac{2\sqrt{2}}{k\sqrt{2-3{k}^{2}}}$．
令$\sqrt{2-3{k}^{2}}$=t∈（0，$\sqrt{2}$）．k²=$\frac{2-{t}^{2}}{3}$∈（0，$\frac{2}{3}$），k∈（-$\frac{\sqrt{6}}{3}，0$）．
則S=-$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2-{t}^{2}}}$（$\frac{{t}^{2}}{4-{t}^{2}}$-$\frac{\sqrt{2}}{t}$）

點評 本題考查橢圓標準方程、四邊形面積取值范圍的求法，涉及橢圓、直線方程、根的判別式、韋達定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．