Question

18．已知圓C：x²+（y-2）²=1，P是x軸正半軸上的一個動點，若PA，PB分別切圓C于A，B兩點，若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，則直線CP的方程為2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0．

Answer 1

分析 如圖所示，由切線長定理得到Q為線段AB中點，在直角三角形ACQ中，利用勾股定理求出|CQ|的長，再利用相似求出|CP|的長，設(shè)P（p，0），利用勾股定理求出p的值，即可確定出直線CP方程．

解答 解：如圖所示，|AC|=r=1，|AQ|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△ACQ中，根據(jù)勾股定理得：|CQ|=$\frac{1}{3}$，
∵△ACQ∽△PCA，
∴$\frac{\frac{1}{3}}{1}$=$\frac{1}{|CP|}$，即|CP|=3，
設(shè)P（p，0）（p＞0），即|OP|=p，
在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：9=4+p²，
解得：p=$\sqrt{5}$，即P（$\sqrt{5}$，0），
則直線CP解析式為y=$\frac{2-0}{0-\sqrt{5}}$（x-$\sqrt{5}$），即2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0，
故答案為：2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：切線長定理，切線性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及直線的兩點式方程，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．