Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面AB₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AB⊥BC₁，BC⊥BC₁，由此能證明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）利用等體積方法求點(diǎn)B到平面AB₁C₁的距離．

解答 （Ⅰ）證明：AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，BC₁?側(cè)面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
在△BCC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：BC12=BC²+CC12-2BC•CC₁•cos∠BCC₁
=1²+2²-2×1×2×cos $\frac{π}{3}$=3，
∴BC₁=$\sqrt{3}$，…3 分
∴BC²+BC₁²=CC₁²，∴BC⊥BC₁，
∵BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．…（5分）
（Ⅱ）解：${V}_{A-{B}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×B{C}_{1}×{B}_{1}{C}_{1}×AB$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
又AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC₁=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}}$=2，B₁C₁=1
∴${S}_{△A{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．
設(shè)點(diǎn)B到平面AB₁C₁的距離為h
∴$\frac{1}{3}×1×h=\frac{\sqrt{3}}{6}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以點(diǎn)B到平面AB₁C₁的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，正確運(yùn)用等體積轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．