4.橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{1}{2}$,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為$\sqrt{10}$.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在過(0,-2)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn),若存在,求出直線l的方程,不存在請(qǐng)說明理由.

分析 (Ⅰ)由題意可知:橢圓的由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,即a=2c,左焦點(diǎn)F(-c,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為$\sqrt{10}$,即(2+c)2+1=10,解得:c=1,由b2=a2-c2=3,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)當(dāng)直線斜率存在,設(shè)直線l的方程y=kx-2,代入橢圓方程,△>0,解得k2>$\frac{1}{4}$,y1•y2=(kx1-2)(kx2-2)=$\frac{12-12{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$,以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)M(2,0),$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0,整理得:k2-8k+7=0,即可求得k=7或k=1,滿足k2>$\frac{1}{4}$,即可求得直線l的方程.

解答 解:(Ⅰ)由橢圓的由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,即a=2c,
左焦點(diǎn)F(-c,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為$\sqrt{10}$,即(2+c)2+1=10,解得:c=1,
則a=2,由b2=a2-c2=3,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$,;
(Ⅱ)設(shè)滿足條件的直線存在,①當(dāng)直線的斜率不存在是,顯然不符合題意,
②當(dāng)直線斜率存在,設(shè)直線l的方程y=kx-2,直線l和圓C的交點(diǎn)為A (x1,y1),B(x2,y2
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,整理得:(4k2+3)x2-16kx+4=0,
由△=256k2-16(4k2+3)>0,解得:k2>$\frac{1}{4}$,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$,x1•x2=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$,
y1•y2=(kx1-2)(kx2-2)=k2x1•x2-2k(x1+x2)+4=k2×$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$-2k×$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$+4=$\frac{12-12{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$,
以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)M(2,0),
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0,
由$\overrightarrow{MA}$=(x1-2,y1),$\overrightarrow{MB}$=(x2-2,y2),
∴(x1-2)(x2-2)+y1•y2=0,
∴$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$-2×$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$+4+$\frac{12-12{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$=0,
整理得:k2-8k+7=0,解得:k=7或k=1,滿足k2>$\frac{1}{4}$,
∴y=x-2或y=7x-2,
出直線l的方程y=x-2或y=7x-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,韋達(dá)定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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