Question

7．設函數(shù)f（x）=sin²（x+π）-cos²（x-$\frac{π}{3}$）
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）若|f（x）-m|≤2在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（2）|f（x）-m|≤2，即m-2≤f（x）≤2+m，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上，求出內層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=sin²（x+π）-cos²（x-$\frac{π}{3}$）=[sinx+cos（x-$\frac{π}{3}$）][sinx-cos（x-$\frac{π}{3}$）]
=-$\frac{1}{2}$（cos2x+cos（2x-$\frac{2π}{3}$））=-$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=-$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
當2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
即kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$   k∈Z時，f（x）為單調遞增．
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴-$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]，
由“|f（x）-m|≤2在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上恒成立“可知：-2≤f（x）-m≤2在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上恒成立；
∴f_min（x）-m≥-2，
f_max（x）-m≤2，
即：-$\frac{1}{2}$-m≥-2，$\frac{1}{4}$-m≤2，
∴-$\frac{7}{4}$≤m≤$\frac{3}{2}$．
∴m的取值范圍是[-$\frac{7}{4}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．