Question

15．已知函數(shù)f（x）=2asin²x-2$\sqrt{3}$asinx•cosx+1在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]的最大值為4，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對a的正負討論，求出f（x）的最大值，可得實數(shù)a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2asin²x-2$\sqrt{3}$asinx•cosx+1
化簡可得：f（x）=a-acos2x-$\sqrt{3}a$sin2x+1=a+1-2asin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$．
當(dāng)a＞0，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$取得最大值為4，即a+1-2asin$\frac{7π}{6}$=4，
解得：a=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)a＜0，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$取得最大值為4，即a+1-2asin$\frac{π}{2}$=4，
解得：a=-3
故得實數(shù)a的值$\frac{3}{2}$或-3．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．