6．已知函數(shù)f（x）=|x-5|+|x-3|．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值m；
（2）若正實數(shù)a，b滿足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{3}$，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$≥m．

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式|a+b|≥|a-b|便可得出|x+3|+|x-1|≥4，從而得出f（x）的最小值為4，即得到t=4；
（2）利用柯西不等式即可證明．

解答 （1）解f（x）=|x-5|+|x-3|≥|（x-5）-（x-3）|=2；
∴f（x）的最小值m為2；
（2）證明：∵a＞0，b＞0，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{3}$，
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$）[${1}^{2}+（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$]≥$（\frac{1}{a}×1+\frac{\sqrt{2}}×\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$=3≥2．

點評 考查絕對值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及柯西不等式的應用，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x＞1 或x＜-6}．
（1）若A∩B=∅，求a的取值范圍；
（2）若A∪B=B，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．已知橢圓 $\frac{{y}^{2}}{9}$+x2=1，過點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的直線與橢圓相交于A，B兩點，且弦AB被點P平分，則直線AB的方程為9x+y-5=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

14．下列給出函數(shù)f（x）與g（x）的各組中，是同一個關于x的函數(shù)的是（　　）
A．f（x）=x-1，g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x}$-1B．f（x）=|x|，g（x）=（$\sqrt{x}$）2
C．f（x）=x，g（x）=$\root{3}{{x}^{3}}$D．f（x）=1，g（x）=x0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知函數(shù)y=x2-4x+6．
①當x∈R時，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間；
②當x∈[1，4]時，求出函數(shù)的最大值、最小值；
③當x∈（t，4]，y∈[2，6]時，試確定t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

11．數(shù)列{an}的通項an=n2（sin2$\frac{nπ}{3}$-cos2$\frac{nπ}{3}$），其前n項和為Sn，則S30=-470．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知函數(shù)$f（x）={x^2}-3\left|x\right|+\frac{1}{4}（x∈R）$
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）畫出函數(shù)的圖象；
（3）指數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，M，N分別為B1C1、AA1的中點．
（1）求證：平面ABC1⊥平面AA1C1C；
（2）求證：MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．動點P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{y≥0}\\{x+y-3≥0}\end{array}\right.$，則z=x+2y的最小值為3．

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