Question

6．已知命題p：f（x）=$\sqrt{1-a•{3}^{x}}$在x∈（-∞，0]上有意義，命題q：函數 y=lg（ax²-x+a ） 的定義域為R．若p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p真、命題q真時a的取值范圍，由命題p和q有且僅有一個正確，求a的取值范圍．

解答 解：對于命題p：由1-a•3^x≥0知，$a≤{（\frac{1}{3}）^x}$，x∈（-∞，0]，∴a≤1…（3分）
對于命題q：ax²-x+a＞0在R上恒成立
①若a=0，則-x＞0在R上恒成立，顯然不可能，舍去．
②若a≠0，則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=1-4{a^2}＜0\end{array}\right.$，解得：$a＞\frac{1}{2}$…（6分）
∵命題p和q有且僅有一個正確，∴p真q假或者p假q真，
而由p真q假，可得$a≤\frac{1}{2}$；由p假q真，可得a＞1…（8分）
綜上可得，所求a的取值范圍為$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪（{1，+∞}）$…（10分）

點評 本題考查了復合命題真假的簡單應用，屬于中檔題．