20.正方體ABCD-A1B1C1D1中,沿平面A1ACC1將正方體分成兩部分,其中一部分如圖所示,過(guò)直線A1C的平面A1CM與線段BB1交于點(diǎn)M.
(Ⅰ)當(dāng)M與B1重合時(shí),求證:MC⊥AC1;
(Ⅱ)當(dāng)平面A1CM⊥平面A1ACC1時(shí),求平面A1CM與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

分析 (Ⅰ)連接C1B,推導(dǎo)出AB⊥B1C,BC⊥AC1,由此能證明MC⊥AC1
(Ⅱ)分別以CB、AB、BB1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能出平面A1CM與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)連接C1B,在正方形B1BCC1中,BC1⊥B1C,
正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面B1BCC1,
B1C∈平面B1BCC1,∴AB⊥B1C,
∴B1C⊥平面ABC1,∴BC⊥AC1,
∴MC⊥AC1.-------------(4分)
解:(Ⅱ)正方體ABCD-A1B1C1D1中,CB、AB、BB1兩兩垂直,
分別以CB、AB、BB1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AB=a,則C(-a,0,0),A1(0,-a,a),
設(shè)M(0,0,z),則$\overrightarrow{C{A_1}}=(a,-a,a)$,$\overrightarrow{CM}=(a,0,z)$,
設(shè)平面A1MC的法向量為$\overrightarrow{n_1}=({x_1},{y_1},{z_1})$,
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{C{A_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}}\right.$,即$\left\{{\begin{array}{l}{a{x_1}-a{y_1}+a{z_1}=0}\\{a{x_1}+z{z_1}=0}\end{array}}\right.$,令z1=a,得$\overrightarrow{n_1}=(-z,a-z,a)$,
平面A1ACC1的法向量為$\overrightarrow{n_2}=(1,1,0)$,
平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n_3}=(0,0,1)$,
∵平面A1CM⊥平面A1ACC1,
∴$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_1}=0$,得$z=\frac{1}{2}a$,∴$\overrightarrow{n_1}=(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},a)$,--------(8分)
設(shè)平面A1CM與平面ABC所成銳二面角為θ,
則$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_3}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_3}}|}}=\frac{a}{{1•\frac{{\sqrt{6}}}{2}a}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.
故平面A1CM與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$.-------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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