Question

9．已知向量$\overrightarrow m$=（cosx，-1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$sinx，-$\frac{1}{2}$），設(shè)函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$）•$\overrightarrow m$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求f（x）的最大值，并指出此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的恒等變換，化簡(jiǎn)f（x）即可求出T；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)f（x）的最大值以及對(duì)應(yīng)x的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow m$=（cosx，-1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$sinx，-$\frac{1}{2}$），
∴$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$…（2分）
=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，…（4分）
∴$T=\frac{2π}{2}=\pi$；…（6分）
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$ 時(shí)，f（x） 取得最大值為1+2=3，…（8分）
此時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得x=$\frac{π}{6}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．