Question

15．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}+2t\\ y=-\sqrt{2}+t\end{array}$（t為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的方程為ρ=$\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$．
（Ⅰ）求曲線C₁、C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若A、B分別為曲線C₁、C₂上的任意點，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）在曲線C₁的參數(shù)方程中，消去參數(shù)t，能得到曲線C₁的直角坐標方程；在曲線C₂的方程ρ=$\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$中，極坐標與直角坐標的互化公式能求出曲線C₁、C₂的直角坐標方程．
（2）設B（2cosθ，sinθ），利用點到直線的距離公式能求出|AB|的最小值．

解答 解：（1）∵在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}+2t\\ y=-\sqrt{2}+t\end{array}$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得曲線C₁的直角坐標方程為：x-2y-3$\sqrt{2}$=0，
∵在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的方程為ρ=$\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$．
∴ρ²+3ρ²sin²x-4=0，
∴C₂的直角坐標方程為x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
${C_1}：x-2y-3\sqrt{2}=0，{C_2}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．（6分）
（2）∵A、B分別為曲線C₁、C₂上的任意點，
∴設B（2cosθ，sinθ），
則$|{AB}|=\frac{{|{2cosθ-2sinθ-3\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{4}}）--3\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{5}}}$，
當且僅當$θ=2kπ-\frac{π}{4}（{k∈Z}）$時，
${|{AB}|_{min}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（12分）

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標、平面直角坐標方程的互化，考查兩點間距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．