Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），則a_n為（　�。�

• A、2^n-1
• B、n
• C、2n-1
• D、（

  3

  2

  ）^n-1

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意，f（S_n+2）=f（a_n）+f（3）=f（3a_n），再由函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)可得S_n+2=3a_n，從而求數(shù)列的通項公式．

解答： 解：∵f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），
∴f（S_n+2）=f（a_n）+f（3）=f（3a_n），
又∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴S_n+2=3a_n，
①當(dāng)n=1時，a₁+2=3a₁，故a₁=1，
②當(dāng)n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=3a_n-2-（3a_n-1-2）=3a_n-3a_n-1，
故a_n=

3

2

3a_n-1，
故a_n=（

3

2

）^n-1，
故選D．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了數(shù)列通項公式的求法，屬于中檔題．