Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．
（1）證明：AC⊥PB；
（2）若PD=3，AD=2，求異面直線PB與AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）線線垂直轉化為證明線面垂直，連接BD．PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AC，BD⊥AC，可知AC⊥平面PBD，故得AC⊥PB；
（2）異面直線所成的角要轉化為平面角，通過平移相交尋找．底面ABCD是正方形，AD∥BC，可得異面直線PB與AD所成角為∠PBC．在三角形PBC中求解∠PBC的余弦值即可．

解答 解：（1）證明：連接BD．
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，
∴AC⊥PB．得證．
（2）在Rt△PDB中，$PB={3^2}+{（2\sqrt{2}）^2}=\sqrt{17}$．
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，又BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∴BC⊥PC．
∵BC∥AD，
∴∠PBC即為異面直線PB與AD所成的角，
∴$cos∠PBC=\frac{BC}{PB}=\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$．
故得異面直線PB與AD所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查兩條垂直的證明和異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．