Question

下列命題中：
①函數(shù)f（x）=lg（x²+mx+m）的值域?yàn)镽，則m∈（0，4）；
②若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=

1+f(x)

1-f(x)

，則f（x）為周期函數(shù)；
③函數(shù)y=f（2-x）與y=f（2+x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
④若函數(shù)f(x)=x+log2(x+

x2+1

)，則“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要條件．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①函數(shù)f（x）=lg（x²+mx+1）的值域是R，則x²+mx+1必須取到所有的正實(shí)數(shù)，即△≤0，②換元對式子化簡尋求f（x）的周期，③根據(jù)函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（b-x）的圖象關(guān)于直線x=

b-a

2

對稱判斷，④可判斷函數(shù)f(x)=x+log2(x+

x2+1

)為R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，利用充分必要條件的概念可判斷．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=lg（x²+mx+m）的值域是R，必須：△=m²-4m≥0，即m≥4，或m≤0，故①錯誤；
②令x=x+1得f（x+2）=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

，將f（x+1）=

1+f(x)

1-f(x)

代入上式，化簡得f（x+2）=

-1

f(x)

所以f（x）=-

1

f(x+2)

，令x=x+2可得f（x+2）=-

1

f(x+4)

，代入f（x）=-

1

f(x+2)

，化簡得f（x）=f（x+4），
所以f（x）的周期T=4，故②正確，
③根據(jù)函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（b-x）的圖象關(guān)于直線x=

b-a

2

對稱，則函數(shù)y=f（2-x）與y=f（2+x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，③錯誤，
④函數(shù)f(x)=x+log2(x+

x2+1

)，定義域?yàn)镽，
所以f（-x）+f（x）=-x+log₂（-x+

x2+1

）+x+log₂（x+

x2+1

））=log₂[（x+

x2+1

）（-x+

x2+1

）]=log₂1=0，
所以，f（-x）=-f（x），f（x）=是奇函數(shù)，
由于函數(shù)y=x+

x2+1

在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，所以f（x）=x+log₂（x++

x2+1

）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，而f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）是R上的奇函數(shù)，故在R上單調(diào)遞增，
所以，m+n≥0，即m≥-n時，f（m）≥f（-n）=-f（n），所以f（m）+f（n）≥0，即充分性成立；
反之，若f（m）+f（n）≥0，則f（m）≥-f（n）=f（-n），所以m≥-n，即m+n≥0，必要性成立；
所以“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要條件，④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：考查對數(shù)函數(shù)的值域，定義域，二次函數(shù)，抽象函數(shù)的對稱問題，屬于綜合題，較難，記住一個常用結(jié)論：函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（b-x）的圖象關(guān)于直線x=

b-a

2

對稱．