Question

7．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{k-{2^{-x}}}}{{{2^{-x+1}}+2}}$是奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（0）=0，求出k的值；
（2）函數(shù)f（x）是定義域R上的增函數(shù)，利用單調(diào)性定義證明即可．

解答 解：（1）定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{k-{2^{-x}}}}{{{2^{-x+1}}+2}}$是奇函數(shù)，
則f（0）=0，即$\frac{k-1}{2+2}$=0，
解得k=1；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{1{-2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$=$\frac{{2}^{x}-1}{2+2{•2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1{+2}^{x}}$，是定義域R上的增函數(shù)；
證明如下：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1{+2}^{{x}_{1}}}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1{+2}^{{x}_{2}}}$）
=$\frac{1}{1{+2}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{1{+2}^{{x}_{1}}}$
=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
由x₁＜x₂，得${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，且1+${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．