Question

8．已知定義在R上的可導函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜x，且f（2）=1，則不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²-1的解集為（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構造函數(shù)g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$x²-1），求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，利用導數(shù)和單調(diào)性之間的關系即可求出解集．

解答 解：設g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$x²-1），
則函數(shù)的導數(shù)g′（x）=f′（x）-x，
∵f′（x）＜x，
∴g′（x）=f′（x）-x＜0，
即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
且g（2）=f（2）-（$\frac{1}{2}$×4-1）=1-1=0，
即不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²-1等價為g（x）＜0，
即等價為g（x）＜g（2），
解得x＞2，
故不等式的解集為{x|x＞2}．
故選：D．

點評 本題主要考查了不等式的求解以及構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，是綜合性題目．