分析 (Ⅰ)由長軸頂點(diǎn)到點(diǎn)A(0,-2)的距離為2$\sqrt{2}$,即$\sqrt{(±a)^{2}+2}$=2$\sqrt{2}$,焦點(diǎn)$F(\sqrt{3},0)$,即c=$\sqrt{3}$,則b2=a2-c2=4-1=3,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意可設(shè)直線l的方程為:y=kx-2,與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,再利用三角形的面積計算公式即可得出S△OMN.通過換元再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 解:由題意可知:橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)$F(\sqrt{3},0)$,即c=$\sqrt{3}$,
由長軸頂點(diǎn)到點(diǎn)A(0,-2)的距離為2$\sqrt{2}$,即$\sqrt{(±a)^{2}+2}$=2$\sqrt{2}$,
解得:a=2,
b2=a2-c2=4-1=3,
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$;
(2)當(dāng)l⊥x時,不符合題意,
由題意可設(shè)直線l的方程為:y=kx-2,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,整理得:(1+4k2)x2+16kx+12=0,
當(dāng)△=16(4k2-3)>0時,即k2>$\frac{3}{4}$,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$,
則△OMN的面積S=$\frac{1}{2}$•|OA|•|x2|-$\frac{1}{2}$•|OA|•|x1|=|x2-x1|=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{(-\frac{16k}{1+4{k}^{2}})^{2}-4×\frac{12}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$,
令$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=t(t>0),則4k2=3+t2,
即有S=$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=1,
當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即有k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$時,S取得最大值,最大值為1,
∴直線l的方程為2y-$\sqrt{7}$x+4=0或2y+$\sqrt{7}$x+4=0.
點(diǎn)評 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,考查了換元法和轉(zhuǎn)化方法,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{40}{3}$ | B. | $\frac{50}{3}$ | C. | 10 | D. | 20 |
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