分析 (1)由遞推數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式,適當(dāng)?shù)淖冃,證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列,然后求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.
解答 解:(1)數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$.可得,an+1an=an-an+1,
兩邊同除以anan+1,得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1,
所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列,公差為1.$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+(n-1)•1,
上述n-1個(gè)等式累加,
可得an=$\frac{1}{n}$.
(2)設(shè)bn=$\frac{1}{{2}^{n}•{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,∴Tn=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$…①
$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$$+\frac{n}{{2}^{n+1}}$,②
①-②,$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$,
∴Tn=2-$\frac{6}{{2}^{n+1}}$.
點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用.解答本題用到的累加法是求數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列前n項(xiàng)和的重要方法.
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A. | 函數(shù)y=|x|有極大值,但無極小值 | B. | 函數(shù)y=|x|有極小值,但無極大值 | ||
C. | 函數(shù)y=|x|既有極大值又有極小值 | D. | 函數(shù)y=|x|無極值 |
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