Question

18．已知函數(shù)$f（x）=sinx-\frac{1}{2}$與g（x）=cos（2x+φ）$（0≤φ＜\frac{π}{2}）$，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{ω}（ω＞0）$倍，得到h（x）的圖象，若h（x）的最小正周期為π，求ω的值和h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（$\frac{π}{6}$）=g（$\frac{π}{6}$），求得φ的值．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得到h（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得h（x）的增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)$f（x）=sinx-\frac{1}{2}$與g（x）=cos（2x+φ）$（0≤φ＜\frac{π}{2}）$，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$的交點(diǎn)，
∴sin$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$=cos（$\frac{π}{3}$+φ），即 cos（$\frac{π}{3}$+φ）=0，∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）將函數(shù)$f（x）=sinx-\frac{1}{2}$的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{ω}（ω＞0）$倍，得到h（x）=sin（ωx）-$\frac{1}{2}$的圖象，
若h（x）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，h（x）=sin（2x）-$\frac{1}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得h（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．