Question

11．四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且兩兩夾角為 60°．則線段 AC₁與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且兩兩夾角為 60，由AC就是AC₁在平面ABC內(nèi)的投影，得∠C₁AC是線段 AC₁與平面ABC所成角，求出AC₁，利用余弦定理求解．

解答 解：設(shè)以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等為1，
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，且$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}$兩兩夾角為 60°．
${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}=（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{AB}）^{2}$=$\sqrt{6}$，
∵以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且兩兩夾角為 60，
∴AC就是AC₁在平面ABC內(nèi)的投影，
∴∠C₁AC是線段 AC₁與平面ABC所成角，
在△ACC₁中，AC₁=$\sqrt{6}$，CC₁=1，AC=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cos$∠{C}_{1}AC=\frac{A{C}^{2}+A{{C}_{1}}^{2}-C{{C}_{1}}^{2}}{2AC•A{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
則線段 AC₁與平面ABC所成角的正弦值為$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，空間距離的計(jì)算，構(gòu)造合適的三角形是關(guān)鍵．屬于中檔題，