Question

15．已知橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的一個焦點為F（-1，0），左、右頂點分別為A，B．經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點．
（1）當直線l的傾斜角為45^°時，求線段CD的長；
（2）記△ABD與△ABC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）同橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線方程為y=x+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得7x²+8x-8=0，由此利用根的判別式，韋達定理、弦長公式能求出CD的長．
（2）當直線l無斜率時，直線方程為x=-1，|S₁-S₂|=0，當直線l斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式，韋達定理、弦長公式，結合已知條件能求出|S₁-S₂|的最大值．

解答 解：（1）因為F（-1，0）為橢圓的焦點，所以c=1，又b²=3，
所以a²=4，所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為1，
所以直線方程為y=x+1，和橢圓方程聯(lián)立得到
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，消掉y，得到7x²+8x-8=0，
所以△=288，x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
所以線段CD的長|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24}{7}$．
（2）當直線l無斜率時，直線方程為x=-1，
此時D（-1，$\frac{3}{2}$），C（-1，-$\frac{3}{2}$），△ABD，△ABC面積相等，|S₁-S₂|=0，
當直線l斜率存在（由題意知k≠0）時，設直線方程為y=k（x+1）（k≠0），
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
和橢圓方程聯(lián)立得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，消掉y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
△＞0，方程有根，且x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
此時|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₂+1）+k（x₁+1）|
=2|k（x₂+x₁）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12}{\frac{3}{|k|}+4|k|}$≤$\frac{12}{2\sqrt{\frac{3}{|k|}+4|k|}}$=$\frac{12}{2\sqrt{12}}$=$\sqrt{3}$（k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時等號成立）
所以|S₁-S₂|的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線段長的求法，考查兩三角形面積差的絕對值的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式，韋達定理、弦長公式、橢圓性質的合理運用．