Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{m}{x}+lnx$，g（x）=x³+x²-x．
（Ⅰ）若m=3，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若對于任意的s，$t∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$，都有$f（s）≥\frac{1}{10}g（t）$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為對任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$，$f（x）=\frac{m}{x}+{lnr}≥1$恒成立，得到m≥x-xlnr，令h（x）=x-xlnr，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
m=3時，$f（x）=\frac{3}{x}+lnx$，$f'（x）=-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-3}{x^2}$，f'（3）=0，
∴x＞3，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
0＜x＜3，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
∴f（x）有極小值f（3）=1+ln3，沒有極大值．…（5分）
（Ⅱ）g（x）=x³+x²-x，g'（x）=3x²+2x-1
當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$時，g'（x）＞0，
∴g（x）在$[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$上是單調(diào)遞增函數(shù)，g（2）=10最大，…（7分）
對于任意的s，$t∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$．$f（s）≥\frac{1}{10}g（t）$恒成立，
即對任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$，$f（x）=\frac{m}{x}+{lnr}≥1$恒成立，∴m≥x-xlnr，…（9分）
令h（x）=x-xlnr，則h'（x）=1-lnx-1=-lnr．
∴當(dāng)x＞1時，h'（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時，h'（x）＞0，
∴h（x）在（0，1]上是增函數(shù)，在[1，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$時，h（x）最大值為h（1）=1，…（11分）
∴m≥1即m∈[1，+∞）．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．