Question

19．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值，并求出取得最值時(shí)的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值，并求出取得最值時(shí)的x值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x-1=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x-1=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）-1=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1的圖象，
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=π時(shí)，即x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2-1=-3；
當(dāng) 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，即x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值為$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．