Question

2．如圖，圓A：（x+1）²+y²=16，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．
（1）證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；
（2）設(shè)點E的軌跡為曲線C，直線l交C₁于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與元A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得圓A的圓心和半徑，運用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得EB=ED，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，求得a，b，c，即可得到所求軌跡方程；
（2）設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|MN|，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=-m（x-1），求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得|PQ|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）因為|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，
所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，
又圓A的標準方程為（x+1）²+y²=16，從而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4，
由題設(shè)得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2＜|EA|+|EB|，
由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（y≠0）$．
（2）當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
所以$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|$=$\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}$，
過點B（1，0）且與l垂直的直線m：$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，點A到m的距離為$\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$|PQ|=2\sqrt{{4^2}-{{（\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）}^2}}=4\sqrt{\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}+1}}}$，
故四邊形MPNQ的面積$S=\frac{1}{2}|MN||PQ|=12\sqrt{1+\frac{1}{{4{k^2}+3}}}$．
可得當(dāng)l與x軸不垂直時，由k≠0，得四邊形MPNQ面積的取值范圍為$（12，8\sqrt{3}）$．
當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四邊形MPNQ的面積為12．
綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為$[12，8\sqrt{3}）$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及直線和圓相交的弦長公式，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．