Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）若a，b，c成等比數列，cos B=$\frac{3}{5}$，求$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$的值．
（2）若角A，B，C成等差數列，且b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用等比數列的性質得b²=ac，結合正弦定理可得sin²B=sinAsinC，利用兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理化簡所求即可得解．
（2）由等差數列的性質，三角形內角和定理可求B，利用余弦定理，基本不等式可求ac≤4，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵三邊a、b、c成等比數列即有：b²=ac，
∴由正弦定理可得，sin²B=sinAsinC，
∵cos B=$\frac{3}{5}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosAsinC+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{4}$．
（2）∵角A，B，C成等差數列，2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵b=2，由余弦定理可得：4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，當且僅當a=c時等號成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\sqrt{3}$，當且僅當a=c時等號成立．
∴△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形內角和定理，基本不等式在解三角形中的運用，考查等比數列，等差數列的性質，考查運算能力和轉化思想，屬于基礎題．