Question

15．已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足2$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，那么S_△PBC：S_PCA：S_△PAB等于（　　）

• A． 4：3：2
• B． 2：3：4
• C． $\frac{1}{4}$：$\frac{1}{3}$：$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$：$\frac{1}{3}$：$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{PA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$．延長(zhǎng)PB到B₁，使得$\overrightarrow{P{B}_{1}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}$，延長(zhǎng)PC到C₁，使得$\overrightarrow{P{C}_{1}}=2\overrightarrow{PC}$，則P是△PB₁C₁的重心，設(shè)${S}_{△P{B}_{1}{C}_{1}}$=3S，則${S}_{△AP{B}_{1}}={S}_{△AP{C}_{1}}={S}_{△P{B}_{1}{C}_{1}}$=S，由此能求出S_△PBC：S_△PCA：S_△PAB的值．

解答 解：∵P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足2$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$．
延長(zhǎng)PB到B₁，使得$\overrightarrow{P{B}_{1}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}$，延長(zhǎng)PC到C₁，使得$\overrightarrow{P{C}_{1}}=2\overrightarrow{PC}$，
連結(jié)PB₁、PC₁、B₁C₁，則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{P{B}_{1}}+\overrightarrow{P{C}_{1}}=\overrightarrow{0}$．
∴P是△PB₁C₁的重心，
設(shè)${S}_{△P{B}_{1}{C}_{1}}$=3S，則${S}_{△AP{B}_{1}}={S}_{△AP{C}_{1}}={S}_{△P{B}_{1}{C}_{1}}$=S，
${S}_{△PBC}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×S=\frac{1}{3}S$，
S_△PCA=$\frac{1}{2}S$，S_△PAB=$\frac{2}{3}S$，
∴S_△PBC：S_△PCA：S_△PAB=$\frac{1}{3}S：\frac{1}{2}S：\frac{2}{3}S$=2：3：4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三個(gè)三角形面積之比的求法，考查向量、三角形重心定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．