Question

13．已知橢圓x²+2y²=12，A是x軸正方向上的一定點，若過點A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為$\frac{{4\sqrt{14}}}{3}$，求點A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₀，0）（x₀＞0），則直線l的方程為y=x-x₀，設(shè)出直線方程，設(shè)直線l與橢圓相交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點，借助于韋達定理，從而可求得x₀的值

解答 解：設(shè)A（x₀，0）（x₀＞0），則直線l的方程為y=x-x₀，
設(shè)直線l與橢圓相交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點，
由y=x-x₀可得3x²-4x₀x+2x₀²-12=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，有x₁+x₂=$\frac{4{x}_{0}}{3}$，x₁x₂=$\frac{{2x}_{0}^{2}-12}{3}$，
則|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{\frac{16x_0^2}{9}-\frac{8x_0^2-48}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{36-2x_0^2}$．
所以$\frac{{4\sqrt{14}}}{3}=\sqrt{1+{k^2}}•|{x_1}-{x_2}|$，
即$\frac{{4\sqrt{14}}}{3}$=$\sqrt{2}•\frac{2}{3}$•$\sqrt{36-2x_0^2}$．
所以$x_0^2=4$．
又x₀＞0，所以x₀=2，
所以A（2，0）．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系與弦長問題，難點在于弦長公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．