Question

3．設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期與單調減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（A）=2．
①求A；
②若b=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\frac{b+c}{sinB+sinC}$的值．

Answer 1

分析 由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，表示出函數(shù)的解析式，第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，后兩項提取2，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=$\frac{2π}{|ω|}$中，即可求出函數(shù)的最小正周期，再由余弦函數(shù)的單調遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]列出關于x的不等式，求出不等式的解集可得出函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）①由f（A）=2，將x=A代入得到cos（2A-$\frac{π}{3}$）的值，由A為三角形的內角，得到A的范圍，進而確定出2A-$\frac{π}{3}$的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
②由三角形的面積公式可求c，利用余弦定理可求a，利用正弦定理，比例的性質即可得解．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=1+2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
（1）∵ω=2，∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）①∵f（A）=2，
∴1+2cos（2A-$\frac{π}{3}$）=2，
∴cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，
則A=$\frac{π}{3}$．
②∵b=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=2，
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．

點評 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運算法則，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的單調性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵，屬于中檔題．