Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意a∈[1，4），且存在x∈[1，e³]，使得不等式f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)進行求導，然后令導函數(shù)大于0求出x的范圍，令導函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；
（2）問題轉(zhuǎn)化為b≤a+$\frac{1-lnx}{x}$在[1，e³]恒成立，依據(jù)不等式恒成立時所取的條件，求出實數(shù)b的取值范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
．f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
若a≤0，則f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上遞減；
若a＞0，則由f'（x）＞0得：x＞$\frac{1}{a}$；
由f'（x）＜0得：0＜x＜$\frac{1}{a}$
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增．
（2）由f（x）≥bx-2得：b≤a+$\frac{1-lnx}{x}$，
令g（x）=a+$\frac{1-lnx}{x}$，
則g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$由g'（x）＞0得：x＞e²；
由g'（x）＜0得：0＜x＜e²．
所以，g（x）在[1，e²）上遞減，在（e²，e³]遞增．
∴g（x）_max=g（e³）=a-$\frac{2}{{e}^{3}}$，
∴b≤a-$\frac{2}{{e}^{3}}$，∵a∈[1，4），
∴b≤1-$\frac{2}{{e}^{3}}$．

點評 本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．