Question

3．已知過拋物線方程y²=2px，過焦點(diǎn)F的直線l斜率為k（k＞0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，滿足$\frac{1}{{|{\overrightarrow{AF}}|}}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{FB}}|}}=1$，又$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，則直線l的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-1）．

Answer 1

分析 先求出p的值，再設(shè)A，B兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為E，F(xiàn)，過B作AE的垂線BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角，其正切值即為K值，利用在直角三角形ABC中，求出tan∠BAC，得出直線AB的斜率，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{1}{{|{\overrightarrow{AF}}|}}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{FB}}|}}=1$，
∴由拋物線的性質(zhì)，可得$\frac{2}{p}$=1，∴p=2．
如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為E，F(xiàn)，
過B作AE的垂線BC，
在三角形ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角，
其正切值即為K值，
設(shè)|BF|=n，∵|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，
根據(jù)拋物線的定義得：|AE|=2n，|BF|=n，
∴|AC|=n，
在直角三角形ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=2$\sqrt{2}$，
∴直線l的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-1）．
故答案為y=2$\sqrt{2}$（x-1）．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)，特別是焦點(diǎn)弦問題，解題時要善于運(yùn)用拋物線的定義解決問題．