【題目】已知圓C經(jīng)過點A(﹣2,0),B(0,2),且圓心C在直線y=x上,又直線l:y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點.
(1)求圓C的方程;
(2)若,求實數(shù)k的值;
(3)過點(0,4)作動直線m交圓C于E,F(xiàn)兩點.試問:在以EF為直徑的所有圓中,是否存在這樣的圓P,使得圓P經(jīng)過點M(2,0)?若存在,求出圓P的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)x2+y2=4(2)k=0(3)存在圓P:5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4,使得圓P經(jīng)過點M(2,0).
【解析】試題分析:(1)先求出AB中垂線方程,再與直線y=x聯(lián)立求出交點即為圓心,最后根據(jù)圓心到A點距離等于半徑,寫出圓方程(2)聯(lián)立直線y=kx+1與圓方程,根據(jù)向量數(shù)量積以及韋達定理化簡可得實數(shù)k的值;(3)設(shè)E,F坐標,則可表示出以EF為直徑的圓方程,再設(shè)直線m點斜式方程與圓C方程聯(lián)立,利用韋達定理以及以EF為直徑的圓過點M(2,0)求出直線m斜率,代入即得以EF為直徑的圓方程,最后討論直線m斜率不存在時是否滿足題意
試題解析:解:(1)設(shè)圓心C(a,a),半徑為r.
因為圓C經(jīng)過點A(﹣2,0),B(0,2),
所以|AC|=|BC|=r,
即,
解得a=0,r=2,
所以圓C的方程是x2+y2=4.
(2)因為=2×2×cos<,>=﹣2,
且與的夾角為∠POQ,
所以cos∠POQ=﹣,∠POQ=120°,
所以圓心C到直線l:kx﹣y+1=0的距離d=1,
又d=,所以k=0.
(3)(。┊斨本m的斜率不存在時,
直線m經(jīng)過圓C的圓心C,
此時直線m與圓C的交點為E(0,2),F(xiàn)(0,﹣2),
EF即為圓C的直徑,而點M(2,0)在圓C上,
即圓C也是滿足題意的圓.
(ⅱ)當直線m的斜率存在時,設(shè)直線m:y=kx+4,
由,消去y整理,得(1+k2)x2+8kx+12=0,
由△=64k2﹣48(1+k2)>0,得或.
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),
則有①…
由①得,②,③
若存在以EF為直徑的圓P經(jīng)過點M(2,0),則ME⊥MF,
所以,
因此(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2=0,
即x1x2﹣2(x1+x2)+4+y1y2=0,…
則,
所以16k+32=0,k=﹣2,滿足題意.…
此時以EF為直徑的圓的方程為x2+y2﹣(x1+x2)x﹣(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,
即,
亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0.…
綜上,在以EF為直徑的所有圓中,
存在圓P:5x2+5y﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4,使得圓P經(jīng)過點M(2,0). …
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】京劇是我國的國粹,是“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”,某機構(gòu)在網(wǎng)絡(luò)上調(diào)查發(fā)現(xiàn)各地京劇票友的年齡服從正態(tài)分布同時隨機抽取位參與某電視臺《我愛京劇》節(jié)目的票友的年齡作為樣本進行分析研究(全部票友的年齡都在內(nèi)),樣本數(shù)據(jù)分別區(qū)間為由此得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ) 若求的值;
(Ⅱ)現(xiàn)從樣本年齡在的票友中組織了一次有關(guān)京劇知識的問答,每人回答一個問題,答對贏得一臺老年戲曲演唱機,答錯沒有獎品,假設(shè)每人答對的概率均為,且每個人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示票友們贏得老年戲曲演唱機的臺數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , , 為線段上的點,
(1)證明: 平面;
(2)若是的中點,求與平面所成的角的正切值;
(3)若滿足面,求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示:
(1)求ω,φ的值;
(2)設(shè)g(x)=2 f( )f( )﹣1,當x∈[0, ]時,求函數(shù)g(x)的值域.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】元旦期間,某轎車銷售商為了促銷,給出了兩種優(yōu)惠方案,顧客只能選擇其中的一種,方案一:每滿萬元,可減千元;方案二:金額超過萬元(含萬元),可搖號三次,其規(guī)則是依次裝有個幸運號、個吉祥號的一個搖號機,裝有個幸運號、個吉祥號的二號搖號機,裝有個幸運號、個吉祥號的三號搖號機各搖號一次,其優(yōu)惠情況為:若搖出個幸運號則打折,若搖出個幸運號則打折;若搖出個幸運號則打折;若沒有搖出幸運號則不打折.
(1)若某型號的車正好萬元,兩個顧客都選中第二中方案,求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率;
(2)若你評優(yōu)看中一款價格為萬的便型轎車,請用所學知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是首項為a1=,公比q=的等比數(shù)列,設(shè),數(shù)列滿足cn=an·bn.
(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若cn≤m2+m-1對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是棱長為3的正方體,點在上,點在上,且,(1)求證: 四點共面; (2)若點在上, ,點在上, ,垂足為,求證: 面; (3)用表示截面和面所成銳二面角大小,求.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時追上.
(1)求漁船甲的速度;
(2)求sinα的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某廠最近十年生產(chǎn)總量逐年上升,如表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù):
年份 | 2008 | 2010 | 2012 | 2014 | 2016 |
生產(chǎn)總量(萬噸) |
(Ⅰ)利用所給數(shù)據(jù)求年生產(chǎn)總量與年份之間的回歸直線方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直線方程預測該廠2018年生產(chǎn)總量.
(回歸直線的方程: ,其中, )
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com