分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值即可;
(2)求出函數(shù)的導數(shù),從而確定0<x1<2a<x2,作f(2a-x1)-f(x2),利用換元法可證明f(2a-x1)-f(x2)<0,從而可得2a-x1<x2,從而得證.
解答 解:(1)f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{x2}$=$\frac{x-a}{x2}$,(x>0)
所以當a≤0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當a>0時,f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.…(5分)
(2)證明:若函數(shù)y=f(x)的兩個零點為x1,x2(x1<x2),由(1)可得0<x1<a<x2.
令g(x)=f(x)-f(2a-x),(0<x<a)
則g′(x)=f′(x)+f′(2a-x)=(x-a)[$\frac{1}{x2}$-$\frac{1}{(2a-x)2}$]<0,
所以g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,g(x)>g(a)=0,
即f(x)>f(2a-x).
令x=x1<a,則f(x1)>f(2a-x1),所以f(x2)=f(x1)>f(2a-x1),
由(1)可得f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,所以x2>2a-x1,
故x1+x2>2a.…(12分)
點評 考查了導函數(shù)的應用,難點是函數(shù)的構(gòu)造,難度較大.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $y=\sqrt{x}$與y2=x | B. | y=x與$\frac{x}{y}=1$ | C. | y2-x2=0與|y|=|x| | D. | y=x0與y=1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (0,1) | B. | [4,+∞) | C. | (0,4] | D. | (1,4] |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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