Question

3．一棟高樓上安放了一塊高約10米的LED廣告屏，一測量愛好者在與高樓底部同一水平線上的C處測得廣告屏頂端A處的仰角為31.80°．再向大樓前進20米到D處，測得廣告屏頂端A處的仰角為37.38°（人的高度忽略不計）．
（1）求大樓的高度（從地面到廣告屏頂端）（精確到1米）；
（2）若大樓的前方是一片公園空地，空地上可以安放一些長椅，為使坐在其中一個長椅上觀看廣告屏最清晰（長椅的高度忽略不計），長椅需安置在距大樓底部E處多遠？已知視角∠AMB（M為觀測者的位置，B為廣告屏底部）越大，觀看得越清晰．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得AD=$\frac{CDsin∠ACD}{sin∠CAD}$≈101.2，即可求大樓的高度；
（2）tanα=tan（∠AME-∠BME）=$\frac{10x}{{x}^{2}+3224}$=$\frac{10}{x+\frac{3224}{x}}$≤$\frac{10}{4\sqrt{806}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，∠ACD=31.80°，∠ADE=37.78°，
∠CAD=5.98°，CD=20，
由正弦定理可得AD=$\frac{CDsin∠ACD}{sin∠CAD}$≈101.2，
∴AE=ADsin∠ADE≈62m；
（2）設(shè)∠AMB=α，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，EM=x，x＞0，
tan∠AME=$\frac{62}{x}$，tan∠AME=$\frac{52}{x}$，
tanα=tan（∠AME-∠BME）=$\frac{10x}{{x}^{2}+3224}$=$\frac{10}{x+\frac{3224}{x}}$≤$\frac{10}{4\sqrt{806}}$
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{3224}$≈57m時，tanα取得最大值，此時α也最大．

點評 本題考查正弦定理的運用，考查差角的正切公式，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．