Question

12．已知橢圓E：mx²+y²=1（m＞0）．
（Ⅰ）若橢圓E的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，0）$，求m的值；
（Ⅱ）由橢圓E上不同三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形．若以B（0，1）為直角頂點(diǎn)的橢圓E的內(nèi)接等腰直角三角形恰有三個(gè)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化橢圓E的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，通過(guò)焦點(diǎn)$（\sqrt{3}，0）$在x軸上，求出a，然后求解m即可．
（Ⅱ）設(shè)橢圓E內(nèi)接等腰直角三角形的兩直角邊分別為BA，BC，設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BA與BC不與坐標(biāo)軸平行，且k_BA•k_BC=-1＜0，設(shè)直線BA的方程為y=kx+1（k＞0），則直線BC的方程為$y=-\frac{1}{k}x+1$，
聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，通過(guò)數(shù)據(jù)線的形狀，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （本小題14分）
解：（Ⅰ）橢圓E的方程可以寫(xiě)成$\frac{x^2}{{\frac{1}{m}}}+{y^2}=1$，焦點(diǎn)$（\sqrt{3}，0）$在x軸上，所以${a^2}=\frac{1}{m}$，b²=1${c^2}={a^2}-{b^2}=\frac{1}{m}-1={\sqrt{3}^2}=3$，求得$m=\frac{1}{4}$．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓E內(nèi)接等腰直角三角形的兩直角邊分別為BA，BC，設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
顯然BA與BC不與坐標(biāo)軸平行，且k_BA•k_BC=-1＜0∴可設(shè)直線BA的方程為y=kx+1（k＞0），則直線BC的方程為$y=-\frac{1}{k}x+1$，
由$\left\{\begin{array}{l}m{x^2}+{y^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$消去y得到（m+k²）x²+2kx=0，所以${x_1}=\frac{-2k}{{m+{k^2}}}$
求得$|BA|\;=\sqrt{{k^2}+1}|{x_1}-0|\;=\sqrt{{k^2}+1}\frac{|-2k|}{{m+{k^2}}}=\frac{2k}{{m+{k^2}}}\sqrt{{k^2}+1}$
同理可求$|BC|\;=\sqrt{{{（-\frac{1}{k}）}^2}+1}|{x_2}-0|\;=\sqrt{{{（-\frac{1}{k}）}^2}+1}\frac{{|-2（-\frac{1}{k}）|}}{{m+{{（-\frac{1}{k}）}^2}}}=\frac{2}{{m{k^2}+1}}\sqrt{{k^2}+1}$
因?yàn)椤鰽BC為以B（0，1）為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以|BA|=|BC|，
所以$\frac{2k}{{m+{k^2}}}\sqrt{{k^2}+1}=\frac{2}{{m{k^2}+1}}\sqrt{{k^2}+1}$，
整理得mk³-k²+k-m=0⇒（mk³-m）-（k²-k）=0⇒m（k³-1）-（k²-k）=0
m（k-1）（k²+k+1）-k（k-1）=0⇒（k-1）[mk²+（m-1）k+m]=0
所以k=1或mk²+（m-1）k+m=0，設(shè)f（k）=mk²+（m-1）k+m
因?yàn)橐訠（0，1）為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形恰有三個(gè)，
所以關(guān)于k的方程mk²+（m-1）k+m=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根x₁，x₂，且都不為1∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≠0⇒m+（m-1）+m≠0⇒m≠\frac{1}{3}}\\{{x}_{1+}{x}_{2＞}0⇒-\frac{m-1}{m}＞0⇒0＜m＜1}\\{{x}_{1}•{x}_{2＞}0⇒1＞0}\\{△＞0⇒△=（m-1）^{2}-4{m}^{2}＞0⇒-1＜m＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（0，\frac{1}{3}）$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．