Question

2．已知a，b，c，d∈R且滿足$\frac{a+3lna}$=$\frac{d-3}{2c}$=1，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{9}{5}$ln²$\frac{{e}^{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可將（a，b），（c，d）分別看成函數(shù)=x+3lnx與y=2x+3上任意一點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合幾何意義進(jìn)行求解．

解答 解：因?yàn)?\frac{a+3lna}$=$\frac{d-3}{2c}$=1，所以可將P：（a，b），Q：（c，d）分別看成函數(shù)y=x+3lnx與y=2x+3上任意一點(diǎn)，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線上的動(dòng)點(diǎn)P與直線上的動(dòng)點(diǎn)Q之間的最小值的平方問(wèn)題，
設(shè)M（t，t+3lnt）是曲線y=x+3lnx的切點(diǎn)，因?yàn)閥′=1+$\frac{3}{x}$，
故點(diǎn)M處的切斜的斜率k=1+$\frac{3}{t}$，
由題意可得1+$\frac{3}{t}$=2，解得t=3，
也即當(dāng)切線與已知直線y=2x+3平行時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)M（3，3+3ln3）到已知直線y=2x+3的距離最近，
最近距離d=$\frac{|6-3-3ln3+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6-3ln3}{\sqrt{5}}$，
也即（a-c）²+（b-d）²=$\frac{9（2-ln3）^{2}}{5}$=$\frac{9}{5}$ln²$\frac{{e}^{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{9}{5}$ln²$\frac{{e}^{2}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線，解題的關(guān)鍵是利用幾何意義進(jìn)行求解，屬于中檔題