Question

13．如圖，兩個(gè)工廠A，B相距8（單位：百米），O為AB的中點(diǎn)，曲線段MN上任意一點(diǎn)P到A，B的距離之和為10（單位：百米），且MA⊥AB，NB⊥AB．現(xiàn)計(jì)劃在P處建一公寓，需考慮工廠A，B對(duì)它的噪音影響．工廠A對(duì)公寓的“噪音度”與距離AP成反比，比例系數(shù)為1；工廠B對(duì)公寓的“噪音度”與距離BP成反比，比例系數(shù)為k．“總噪音度”y是兩個(gè)工廠對(duì)公寓的“噪音度”之和．經(jīng)測(cè)算：當(dāng)P在曲線段MN的中點(diǎn)時(shí)，“總噪音度”y恰好為1．
（Ⅰ）設(shè)AP=x（單位：百米），求“總噪音度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)AP為何值時(shí)，“總噪音度”y最�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AP，BP，以AB為x軸，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出曲線段MN的方程，即可求“總噪音度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）換元，利用基本不等式，即可得出當(dāng)AP為何值時(shí)，“總噪音度”y最�。�

解答 解：（Ⅰ）連接AP，BP，由已知得AP=x，BP=10-x，（1分）
∴y=$\frac{1}{x}$+$\frac{k}{10-x}$，（3分）
以AB為x軸，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
由橢圓定義可得，曲線段MN的方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（-4≤x≤4），（4分）
由已知得|MA|=$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{9}{5}$，|AN|=$\sqrt{64+\frac{81}{25}}$=$\frac{41}{5}$，
∴$\frac{9}{5}≤x≤\frac{41}{5}$．（5分）
當(dāng)點(diǎn)P在曲線段MN的中點(diǎn)即AP=x=5時(shí)，$\frac{1}{5}+\frac{k}{5}$=1，k=4，
所求函數(shù)為y=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{10-x}$（$\frac{9}{5}≤x≤\frac{41}{5}$）．（6分）
（Ⅱ）y=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{10-x}$（$\frac{9}{5}≤x≤\frac{41}{5}$），可化為y=$\frac{3x+10}{x（10-x）}$，（7分）
設(shè)t=3x+10，t$∈[\frac{77}{5}$，$\frac{183}{5}$]，（8分）
∴y=$\frac{9}{-（t+\frac{400}{t}）+50}$≥$\frac{9}{10}$，（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{400}{t}$，即t=20t$∈[\frac{77}{5}$，$\frac{183}{5}$]，
即x=$\frac{10}{3}$時(shí)，“總噪音度”y的最小值為$\frac{9}{10}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，函數(shù)的表達(dá)式及基本不等式等知識(shí)；考查學(xué)生運(yùn)算求解能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言及符號(hào)語言解決問題的能力；考查數(shù)形結(jié)合思想與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．