Question

3．定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，則$\frac{f（2）}{f（1）}$的取值范圍是（2⁹，2¹⁰）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{9}}$和h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{10}}$，分別求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{9}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）{x}^{9}-f（x）9{x}^{8}}{（{x}^{9}）^{2}}$=$\frac{xf′（x）-9f（x）}{{x}^{10}}$，
∵9f（x）＜xf'（x），
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-9f（x）}{{x}^{10}}$＞0，
即g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則g（2）＞g（1），
即$\frac{f（2）}{{2}^{9}}$＞$\frac{f（1）}{{1}^{9}}$，則$\frac{f（2）}{f（1）}$＞2⁹，
同理設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{10}}$，
∴h′（x）=$\frac{f′（x）{x}^{10}-f（x）•10{x}^{9}}{（{x}^{10}）^{2}}$=$\frac{xf′（x）-10f（x）}{{x}^{11}}$，
∵xf'（x）＜10f（x），
∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-10f（x）}{{x}^{11}}$＜0，
即h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
則h（2）＜h（1），
即$\frac{f（2）}{{2}^{10}}$＜$\frac{f（1）}{{1}^{10}}$，則$\frac{f（2）}{f（1）}$＜2¹⁰，
綜上2⁹＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜2¹⁰，
故答案為：（2⁹，2¹⁰）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)取值范圍的求解，根據(jù)條件分別構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．